Permütasyon

10. Sınıf Matematik - Permütasyon

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste permütasyon kavramını öğrenecek, permütasyonun nasıl hesaplandığını anlayacak ve çeşitli örnekler ile uygulamalar yapacağız. Ayrıca sık yapılan hataları ve bu hatalardan nasıl kaçınabileceğimizi de inceleyeceğiz.

Temel kavramlar

Permütasyon, bir kümedeki elemanların belirli bir sıraya göre dizilmesi anlamına gelir. Örneğin, A, B ve C harflerini kullanarak oluşturulabilecek farklı dizilimler permütasyonları oluşturur. Permütasyon hesaplamalarında genellikle faktöriyel kullanılır.

Faktöriyel, n sayısının 1'den n'e kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımını ifade eder ve n! şeklinde gösterilir. Örneğin:

• 3! = 3 × 2 × 1 = 6
• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Ayrıntılı anlatım

Permütasyon hesaplamak için kullanılan formül şu şekildedir:

P(n, r) = n! / (n - r)!

Burada:

• n: Toplam eleman sayısı
• r: Seçilen eleman sayısı

Örneğin, 5 farklı kitap arasından 3'ünü seçip dizmek istiyorsak, bu durumda n=5 ve r=3 olacaktır. Hesaplama şu şekilde yapılır:

P(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 5! / 2! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1) = 60

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 4 farklı renkli top var. Bu toplardan 2 tanesinin diziliş sayısını hesaplayalım.

Burada n=4 ve r=2. Hesaplama:

P(4, 2) = 4! / (4 - 2)! = 4! / 2! = (4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1) = 12

Örnek 2: 6 kişilik bir gruptan 3 kişiyi seçip sıraya dizmek istiyoruz. Bu durumda n=6 ve r=3. Hesaplama:

P(6, 3) = 6! / (6 - 3)! = 6! / 3! = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (3 × 2 × 1) = 120

Örnek 3: 5 farklı harf ile oluşturulabilecek 3 harfli kelimelerin sayısını bulalım. Burada n=5 ve r=3. Hesaplama:

P(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 5! / 2! = 60

Sık yapılan hatalar

Permütasyon hesaplamalarında sık yapılan hatalardan bazıları şunlardır:

• Faktöriyel hesaplamalarında yanlışlık yapmak.
• n ve r değerlerini karıştırmak.
• Permütasyon ile kombinasyonu karıştırmak.

Uygulama

Şimdi birkaç alıştırma yapalım:

1. 3 farklı meyve arasından 2'sinin diziliş sayısını hesaplayın.
2. 7 farklı kitap arasından 4'ünü seçip dizmek istiyoruz. Hesaplayın.
3. 5 farklı oyuncak arasından 3'ünü seçip dizin. Sonucu bulun.
4. 8 kişilik bir gruptan 5 kişiyi seçip sıraya dizin. Hesaplayın.
5. 4 farklı renkli kalem ile 2 kalemin diziliş sayısını bulun.

Mini test

1. 5 farklı elma arasından 2'sinin diziliş sayısını hesaplayın.
2. 10 farklı oyuncak arasından 3'ünü seçip dizmek istiyoruz. Hesaplayın.
3. 4 farklı şehir arasından 2'sinin diziliş sayısını hesaplayın.
4. 6 farklı film arasından 4'ünü seçip dizin. Sonucu bulun.
5. 3 farklı çiçek arasından 2'sinin diziliş sayısını hesaplayın.

Cevap anahtarı

1. 20
2. 720
3. 12
4. 360
5. 6

Özet

Bu derste permütasyon kavramını öğrendik. Permütasyon, bir kümedeki elemanların belirli bir sıraya göre dizilmesi anlamına gelir ve hesaplamalarda faktöriyel kullanılır. Permütasyon formülü P(n, r) = n! / (n - r)! şeklindedir. Çeşitli örnekler ve alıştırmalar ile konuyu pekiştirdik. Permütasyon hesaplamalarında dikkat edilmesi gereken noktaları da inceledik.